Leonhard Euler, también conocido como el príncipe de las matemáticas, fue un prolífico matemático suizo del siglo XVIII. Contribuyó significativamente a áreas como el cálculo, la teoría de números (primos), la mecánica de fluidos y la teoría de grafos, además de popularizar el uso de símbolos como π y la letra e. Personalmente es mi matemático favorito, y hoy nos vamos a centrar en un área de sus estudios: La teoría de superficies.
La teoría de superficies es una rama de la geometría diferencial (mezcla entre geometría y cálculo) que estudia cómo son y cómo se comportan las superficies: su forma, torsión, curvatura... Se usa en áreas como la física, la ingeniería y muchísimo en los gráficos por ordenador, para entender y trabajar con objetos en el espacio. Estoy seguro de que ya habéis oído hablar de las triangulaciones (imagen de abajo).
La característica de Euler (k) es un númerito, como si fuese un código, que nos ayuda a describir la forma o estructura de un objeto geométrico. De una pirámide, de un balón de fútbol, de un donut, de un peluche, de un ser humano... ¿Cómo puede ser eso? Pues muy fácil, ya que se calcula mediante la siguiente fórmula: ///k=V-A+C///. ¿Qué significa cada parte?
Más adelante veremos que es un invariante geométrico mediante homeomorfismos
¡Probemos a calcular algunos!
La siguiente figura es un tetraedro. Es uno de los cinco sólidos platónicos, que son las "figuras más armónicas" que hay, ya que son convexas (si dibujas una recta de un punto a otro de ellas no se sale de la figura, cosa que no ocurre por ejemplo con el dibujo de una estrella), y están formadas por polígonos regulares (triángulo, cuadrado, pentágono...) iguales entre sí. (Y alguna que otra restricción más). Tienen muchísimas propiedades interesantes, pero hoy por hoy nos vamos a centrar en su característica de Euler.
Probemos ahora con el octaedro, que, ¡adivinaste! Es otro de los sólidos platónicos. Este consiste en 8 caras triangulares (ya te he dado un dato para calcular su característica de Euler. Recuerda apuntar tus resultados).
Y... ¿Qué es esto? Parece ser un octaedro, pero alguien ha cogido una de sus caras triangulares y la ha fracturado... ¡Como me entere de quién ha sido! Oye, ¿y si probamos a calcular de nuevo su característica de Euler? Te doy una pista, hay 1 vértice más, 3 aristas más, pero... ¿Cuántas caras más comparado con el anterior?
Habrás comprobado que todas las características tienen algo en común... Y antes hemos dicho que eran invariantes por homeomorfismos, pero... ¿qué es un homeomorfismo entre superficies?
Imagina que estás en Egipto viendo las pirámides bajo un sol abrasador, e imagina a un niño que, con una moneda, decide comprar una manzana al mercader que pasa por ahí, ya que tiene hambre, y no hay nada mejor
que la fruta para mantenerte fresco en medio del desierto. También vendía donuts, junto con unas tazas de café humeante. ¿Quién en su sano juicio compraría eso?
¿A qué viene esta historia? En un primer momento, las pirámides, el Sol, la moneda, y la manzana, son objetos completamente distintos, pero matemáticamente... ¡Son lo mismo! (Y ocurre algo similar con la taza y el donut).
Vamos a olvidarnos de la forma, y pensar en cómo están hechas o conectadas. Por ejemplo, si tienes una pirámide de plastilina, puedes cogerla entre tus manos y hacerla una bola, o darle la forma de una manzana
o de un disco si te hartas de ella y decides aplastar tu creación contra la mesa. Pero... Para convertir esa pirámide en un donut, tendríamos que hacerla un churrito, y pegarlo por los extremos.
Un homeomorfismo es como una transformación mágica que nos permite convertir una superficie en otra sin cortarla ni pegarla. Es decir, podemos estirar, doblar o deformar una superficie para que se
vea como la otra, pero sin romperla ni hacerle agujeros nuevos.
La definición (y la práctica) matemática es mucho más larga, pero el concepto en sí es relativamente fácil. En resumen, un homeomorfismo, nos dice que dos superficies u "objetos" son
matemáticamente iguales. Y, comparten muchas propiedades, como por ejemplo, la característica de Euler. Si dos objetos son el mismo mediante un homeomorfismo, decimos que son homeomorfos.
Entonces, la taza y el donut son homeomorfos, y los que hemos calculado antes, también.
¿Te acuerdas de cómo calculaste el octaedro roto? ¡Tú misma has hecho una parte de la demostración de por qué se conserva la característica de Euler sin importar la triangulación!
Entonces, si yo cojo al Mario del Mario 64, y al Mario del Mario Odyssey, los descompongo en triángulos, y calculo su característica de Euler, ¿será la misma? (si,no)
Sabiendo esto, ya estás casi lista para saber clasificar todas y cada una de las superficies que te encuentres en tu día a día. Obviamente, no de forma muy matemática, y aún tienes que saber sobre unos pequeños
conceptos matemáticos, la orientabilidad, y los bordes, que siguen siendo muy importantes, y que me pueden dar ideas para una siguiente clase... ¿Quién sabe?
¡Si tienes curiosidad, ponte en contacto con el profesor!
El caso, las superficies orientables sin borde (que son las más comunes), pueden ser homeomorfas o a una esfera, o a un toro/donut (o varios toros pegados, imagínate que haces un donut con 2 o 3 agujeros), o a un plano.
Ahora, prepárate para hacer un poco de "papiroflexia mental". Tienes un cuadrado, y tienes que "pegar" las líneas rojas con las líneas rojas, siguiendo la dirección que indican, y las líneas azules con las azules
,
también en la dirección indicada. ¿Qué figura te queda? (esfera, toro, plano).
Entonces, la figura que nos ha dado, tiene característica de Euler 0, porque obviamente tiene una cara (el cuadrado), 2 aristas (roja y azul), y 1 vértice, que habrás podido hallar "pegándolo" todo como correspondía.
¡Has trabajado como una verdadera matemática! Piensa en cualquier diagrama de ese tipo, pues bien, todos y cada uno se pueden clasificar de la misma manera, según su característica.
Espero que hayas estado siguiendo la clase, y hecho todos y cada uno de los ejercicios. Como recompensa, si lo has resuelto todo bien, hay un pequeño secreto...
Accede a la web "https://tulpasdaseinsberechtigung.neocities.org/index.html?clave=xyzaabb" con x, y, z, la característica de Euler de las 3 primeras figuras que calculamos,
aa si o no, y bb esfera, plano o toro. Una clave válida sería: "321notoro"